Uma vez que falei de equação do primeiro grau para sexta série, descobrir de forma muito agradável que podia falar de equação do segundo grau pra eles também, começando pelas duas soluções. Passei alguns exercícios para fixar o conceito de equação e assim que as respostas foram chegando vi que tinha duas respostas para o mesmo exercício, ao verificar notei que tinha passado equação do segundo grau. A maioria respondeu por tentativa e erro, algo comum quando iniciamos álgebra na sexta série. As equações tinha estes formatos.
A quarta equação é do segundo grau e não do primeiro (x² - 6x + 8 = 0). Um princípio de confusão foi criado porque alguns chegaram com 4 como resposta e outros com 2 e claro, as duas corretas. Você disse que a minha tava certa mas a dele deu 2 e tá certa também, qual que tá errada? Enfim, aproveitei a oportunidade criada, sem planejamento, para falar que aquela tinha duas soluções por ser de grau 2, que tinha também a de grau 3, grau 4, grau 5 e que cada uma delas tinha pelo menos a quantidade de solução indicada pelo grau da equação e que na oitava iriam saber mais sobre esse tipo de equação de grau 2.
Depois desse episódio pensei em adaptar a situação para a oitava série, onde inicio com algumas equações do primeiro grau e junto, várias equações simplificadas do segundo grau, e sugerir no decorrer da resoluções que tal equações tem duas respostas. Depois dessa etapa o que preciso fazer é otimizar os meios de resolução.
Quase todos os meios que conheço de simplificar uma equação resume se a soma e produto. A que prefiro resume em encontrar dois números que somado de a vezes c e somado de -b. Divide esses dois números por a e a equação está resolvida.
Quatro exemplos com coeficiente 1 e -1 (a).
A primeira : x² + 2x - 3 = 0
Precisamos de dois números para referência, eles são, o resultado de a vezes c (-3) e o b com o sinal trocado ou -b (-2), o que dará na mesma. Com os dois números anotados, só precisamos encontrar dois números que multiplicado dê -3 e somado dê -2. E caso não encontre esses dois números a equação não tem solução. O legal desse modo de resolução é que, podemos perguntar pra sala, dois números que multiplicado dê -24 e somado dê 10? Com certeza a solução surge.
O principal cuidado com esse meio de resolução é o final, depois de encontrar os dois números. Na primeira equação -3 e 1 são os dois números, que também são as raízes, o mesmo acontece na segunda equação e na terceira mas não na quarta. Na quarta equação, 12 vezes -2 dá -24 e 12 mais -2 dá 10, no entanto 12 e -2 não são as raízes, as raízes são -12 e 2. Então para não ter erro divida cada número por a, sempre, mesmo quando o coeficiente de x² for 1.
Esse método é uma forma mental de entender a relação de Girard. E para quem gosta do delta, se subtrair o menor do maior número e elevar ao quadrado, encontra o delta. No exemplo acima onde os dois números encontrados foram -3 e 1, (1 - (-3))² = 16 = delta.
Esgotados os meios simplificados de resolução é hora de saber que, independentes dos valores dos coeficientes existe outro modo de resolução.
Dentre as muitas demonstração escolhi essa por ser a que faço mais rápido, o importante é mostrar que tem uma fórmula e que sai de algum lugar. Na etapa 1 temos a equação e nela os coeficientes que são conhecidos, ficando por objetivo encontrar o valor de x e por sinal tem dois na equação, a manipulação algébrica busca eliminar um desses x's. Na etapa 2, multiplica os dois lados por 4a, na etapa 4 adiciona -4ac dos dois lados, na 6 adiciona b² nos dois lados, o objetivo disso foi formar um quadrado perfeito para reescreve-lo de forma simplificada e já eliminando um x. Na etapa 8 é de onde surge o mais ou menos quando usamos a definição de raiz quadrada de um número ao quadrado, na 10 adicionamos -b nos dois lados, na 12 dividimos os dois lados por 2a para isolar o x, e na 13 só para justificar o porquê do 'corta corta'.
A grade curricular do Estado pede pra falar de função logo depois da equação, são objetos bem diferentes que sempre cria confusão, principalmente na hora da construção com tabelinha etc, quem nunca viu um gráfico assim:
Construção de uma parábola usando uma reta e a mediatriz (verde) do segmento DC
Comportamento do gráfico. Movimente os coeficientes a, b, c ou digite no campo de entrada, a=0 por exemplo e dê enter. No applet os coeficientes estão limitados até 20 e os intervalos são de 0.5. Nos pontos A e B estão as raízes da função e C é o ponto de máximo ou mínimo.
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