TANGÊNCIAS

TEOREMA DA BASE MÉDIA COM AUXÍLIO DO GEOGEBRA

O teorema e a demonstração.

         

MAXIMIZANDO ÁREA COM A SÉTIMA SÉRIE - AULA DE HOJE

Esse é famoso problema do galinheiro que procura uma área máxima a partir de uma determinada medida de tela e uma parede que será parte do cercado.

Propus o problema sem enunciado, apenas exemplifiquei, mostrei a parede e não foi nada mais que isso. Mas antes de tudo coloquei as duas figuras na lousa e perguntei qual era a área e o perímetro das duas, responderam que era a² e 4a. E 20 e 25, beleza dá pra continuar.

O tamanho da tela era de 60 m, disse que os três lados somados tinha de ser 60 sempre e a área, a maior possível. O 60 foi escolhido por ser divisível por todo mundo, múltiplo de todo mundo também isso ia facilitar algumas coisas. A partir daí eles começaram a testar números, foi quando sugerir uma tabela, ainda disse que a área ia aumentar até chegar em um ponto máximo e depois ia começar a diminuir, essa parte interessou bastante. Não precisava ir até o final mas até perceber que a queda na área. Tirando aqueles que nunca fizeram nada, todos preencheram a  tabela.

Para institucionalizar o conceito aplicado eles tinham que encontrar a maior área possível, agora com 70 metros de tela e sem usar a tabela.

A maioria não aguentou e fez outra tabela porém não encontraram a área máxima, o 70 não é tão gentil quanto o 60. Alguns estranharam dois 612 mas não se atentaram para o processo da anterior que gerou 15, 15 e 30.

Uma aluna me explicou assim: se 15 é 1/4 de 60 e o outro 15, 1/4 também e 30 1/2 eu pego 1/4 de 70 e 1/4 de 70 e 1/2 de 70 que dá 17.5, 17.5 e 35. Melhor que isso impossível. Depois ela tentou explicar para os colegas mas eles não entendiam a parte de 1/4, 1/2.

Resumindo, para maximizar área usando uma parede como parte do cercado basta dividir a quantidade por 2 e esse resultado dividi por 2 novamente e multiplica um pelo outro ou divide por 2 e divide por 4 e multiplica.

A partir daí pode se escrever alguns modelos que servirão sempre.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM A AJUDA DO GEOGEBRA

GEOGEBRA: PORQUE VALE A PENA APRENDÊ-LO E USA-LO EM MATEMÁTICA

GANHADOR DO LIVRO APRENDENDO MATEMÁTICA COM O GEOGEBRA

Pessoal, muito obrigado pela participação, é uma pena não ter livros pra todos. A experiência foi super proveitosa e com certeza outros livros virão e já para o próximo, será um indispensável para qualquer professor de matemática, mas este faço questão de comprar pois o meu tá bem guardado, tenho certeza que gostarão, até quem já tem vai querer o segundo.

Como foi o sorteio:
O gerador de números aleatórios escolheu 5 números, desses 5 escolhi o do meio e verifiquei na lista que gerada pelo formulário do google docs.

Cidades participantes

Cuiabá, Uberlândia, Santa Maria, Cajamar, São José do Rio Preto, Ouro Preto, Bagé, Caxias do Sul, São Paulo, Ijuí, Salvador,  Formiga, Juiz de Fora, Porto Velho, Cruz das Almas, Palmas, Presidente Prudente, Itapevi, Vitória, João Pessoa, Camaragibe, Rio de Janeiro, Arujá, Araraquara, Vila Rica, Santo André, Campo Grande, Itaboraí, Pato Branco, Brasília, Duque de Caxias, Porto Alegre, Pederneiras, Valparaíso de Goiás, São Vicente, Cruz Alta, Unaí, Cabo Frio, Santos, Itaquaquecetuba, Dois Irmãos das Missões, Mendes, Novo Cruzeiro, Planaltina, Tabapuã, Palmital

Quem quiser saber mais sobres números aleatórios, os artigos abaixo dá uma boa ideia.

UMA INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DE GERAÇÃO DE NÚMEROS E VARIÁVEIS ALEATÓRIAS PARA APLICAÇÕES EM SIMULADORES

GERADORES DE NÚMEROS ALEATÓRIOS

LIVRO APRENDENDO MATEMÁTICA COM O GEOGEBRA

Preencha um formulário com nome, e mail, cidade e participe do sorteio. É só clicar na foto ou na página inicial, ''livro Aprendendo Matemática com o GeoGebra.

DEZ FORMAS DE MULTIPLICAR UM NÚMERO PELO OUTRO

1 - Desconsidere as unidades (4 e 6) e multiplica 10 x 10, use as unidades, 6 x 10, 4 x 10 e 4 x 6 e soma tudo.

2 - Multiplique 1 x 1 (com duas casas decimais), multiplique 4 x 6. Depois multiplique cruzado, 6 x 1 e 

4 x 1, soma tudo.

3 - Comece da direita para a esquerda, multiplique 4 x 6, anote 24. Considere o primeiro o número na parte superior esquerda como uma unidade a mais e multiplique (1 x 2).

4 - Escolha sempre o maior número em questão (16), comece dobrando esse número, 16, 32, 64... na frente desses números você anota uma outra sequência começando do 1 e dobrando, 1, 2, 4, 8... na segunda coluna você irá procurar números que somados dê 14 já que começou com o 16, no exemplo 8 + 4 + 2 = 14 então o resultado será seus correspondentes somados.

5 - Essa tem o mesmo proceder da 4 a diferença é que subtraindo 16 - 2 também é 14 então o resultado 256 - 32.

6 - Essa é muito simples também faz 6 x 4 (anota o 4 e vai 2), soma 6 + 4, com mais 2 dá 12 e vai 1, multiplica 1 x 1 e soma com mais 1.

7 - Trace uma linha referente ao número 1 do 14, paralela a essa linha trace mais 4 linhas referente ao 4 do 14, perpendicular a essas linhas trace uma linha referente ao 1 do 16 e paralela a essa trace mais 6 linhas referente ao 6 do 16. Conte as intersecções da direita (verde), conte as duas centrais (vermelha) e a da esquerda (azul). Depois é só organizar os números.

Para entender melhor a 8 e 9 aprenda primeiro fazer um número ao quadrado. Primeiro eleve as duas unidades ao quadrado anotando com duas casas decimais (0409), depois multiplique começando do expoente se preferir (2 x 3 x 2) e anote na parte central e soma

8 - Comece anotando a diferença dos números que estão sendo multiplicados (2) e multiplique pelo número que será elevado ao quadrado que será 28. Depois do resultado do número ao quadrado, some.

9 - Escolhendo o maior número o proceder é o mesmo, só muda a subtração, já que escolheu o maior.

E tem a 10ª forma que você deve conhecer e uma coisa que talvez você ainda questione, por que pula uma casa para colocar o segundo número ( unidade em cima da dezena), é simplesmente porque se colocar em outro lugar não dá certo.

RESOLVENDO EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU - VIRADO NO GIRARD

Uma vez que falei de equação do primeiro grau para sexta série, descobrir de forma muito agradável que podia falar de equação do segundo grau pra eles também, começando pelas duas soluções. Passei alguns exercícios para fixar o conceito de equação e assim que as respostas foram chegando vi que tinha duas respostas para o mesmo exercício, ao verificar notei que tinha passado equação do segundo grau. A maioria respondeu por tentativa e erro, algo comum quando iniciamos álgebra na sexta série. As equações tinha estes formatos.

A quarta equação é do segundo grau e não do primeiro (x² - 6x + 8 = 0). Um princípio de confusão foi criado porque alguns chegaram com 4 como resposta e outros com 2 e claro, as duas corretas. Você disse que a minha tava certa mas a dele deu 2 e tá certa também, qual que tá errada? Enfim, aproveitei a oportunidade criada, sem planejamento, para falar que aquela tinha duas soluções por ser de grau 2, que tinha também a de grau 3, grau 4, grau 5 e que cada uma delas tinha pelo menos a quantidade de solução indicada pelo grau da equação e  que na oitava iriam saber mais sobre esse tipo de equação de grau 2.

Depois desse episódio pensei em adaptar a situação para a oitava série, onde inicio com algumas equações do primeiro grau e junto, várias equações simplificadas do segundo grau, e sugerir no decorrer da resoluções que tal equações tem duas respostas. Depois dessa etapa o que preciso fazer é otimizar os meios de resolução.

Quase todos os meios que conheço de simplificar uma equação resume se a soma e produto. A que prefiro resume em encontrar dois números que somado de a vezes c e somado de -b. Divide esses dois números por a e a equação está resolvida.

Quatro exemplos com coeficiente 1 e -1 (a).

 A primeira :  x² + 2x - 3 = 0

Precisamos de dois números para referência, eles são, o resultado de a vezes c (-3) e o b com o sinal trocado ou -b (-2), o que dará na mesma. Com os dois números anotados, só precisamos encontrar dois números que multiplicado dê -3 e somado dê -2. E caso não encontre esses dois números a equação não tem solução. O legal desse modo de resolução é que, podemos perguntar pra sala, dois números que multiplicado dê -24 e somado dê 10? Com certeza a solução surge.

O principal cuidado com esse meio de resolução é o final, depois de encontrar os dois números. Na primeira equação -3 e 1 são os dois números, que também são as raízes, o mesmo acontece na segunda equação e na terceira mas não na quarta. Na quarta equação, 12 vezes -2 dá -24 e 12 mais -2 dá 10, no entanto 12 e -2 não são as raízes, as raízes são -12 e 2. Então para não ter erro divida cada número por a, sempre, mesmo quando o coeficiente de x² for 1. 

Esse método é uma forma mental de entender a relação de Girard. E para quem gosta do delta, se subtrair o menor do maior número e elevar ao quadrado, encontra o delta. No exemplo acima onde os dois números encontrados foram -3 e 1, (1 - (-3))² = 16 = delta.

Esgotados os meios simplificados de resolução é hora de saber que, independentes dos valores dos coeficientes existe outro modo de resolução.

Dentre as muitas demonstração escolhi essa por ser a que faço mais rápido, o importante é mostrar que tem uma fórmula e que sai de algum lugar. Na etapa 1 temos a equação e nela os coeficientes que são conhecidos, ficando por objetivo encontrar o valor de x e por sinal tem dois na equação, a manipulação algébrica busca eliminar um desses x's. Na etapa 2, multiplica os dois lados por 4a, na etapa 4 adiciona -4ac dos dois lados, na 6 adiciona b² nos dois lados, o objetivo disso foi formar um quadrado perfeito para reescreve-lo de forma simplificada e já eliminando um x. Na etapa 8 é de onde surge o mais ou menos quando usamos a definição de raiz quadrada de um número ao quadrado, na 10 adicionamos -b nos dois lados, na 12 dividimos os dois lados por 2a para isolar o x, e na 13 só para justificar o porquê do 'corta corta'.

A grade curricular do Estado pede pra falar de função logo depois da equação, são objetos bem diferentes que sempre cria confusão, principalmente na hora da construção com tabelinha etc, quem nunca viu um gráfico assim:

Construção de uma parábola usando uma reta e a mediatriz (verde) do segmento DC

Comportamento do gráfico. Movimente os coeficientes a, b, c ou digite no campo de entrada, a=0 por exemplo e dê enter. No applet os coeficientes estão limitados até 20 e os intervalos são de 0.5. Nos pontos A e B estão as raízes da função e C é o ponto de máximo ou mínimo. 

DIA INTERNACIONAL DO PI

Hoje é o dia do pi, comemorado na notação americana e estendendo as homenagens, amanhã continua... 3.1415. Com isso lembrei do professor Izaias Neri que foi encontrar o valor de pi em uma sala e pediu para levarem barbante, tampa, tesoura etc. E em poucos minutos só viu tampa voando, barbate no pescoço e tudo mais. Pensei nessa história e pedir pra fazerem em casa, acho que acertei.

SOMA DE RIEMANN COM O GEOGEBRA

Uma função de grau 3 que pode ser alterada movimentando seus coeficientes a, b, c, d. Movimentando o seletor n , é possível ver a diferença da área real (40.51) no intervalo [1, 5] e da área  aproximada com a soma de Riemann. Quanto maior for o número de retângulos, mais próximo da área real.

Para quem ainda não é familiarizado com o geogebra um tutorial do professor Izaias Neri indica o passo a passo da construção.

TUTORIAL SOMA DE RIEMANN

PROVA POR UM RETÂNGULO - TODO TRIÂNGULO INSCRITO NUMA SEMI-CIRCUNFERÊNCIA É RETÂNGULO.

Para provar que todo triângulo inscrito numa semi-circunferência é retângulo, basta saber a definição de retângulo. Movimente o ponto C ou aperte play.
Definição de retângulo: paralelogramo com um ângulo reto.

ESPIRAL TRIANGULAR

1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,49,65,86,114,151,200...

EU SEI QUE VOCÊ QUE SABE QUE ...

Às vezes não basta simplesmente saber uma coisa - temos que saber que mais alguém sabe.Ou que outros sabem que nós sabemos que eles sabem que... Estas considerações levam ao conceito de ''conhecimento geral", e ele tem consequências. Depois que uma coisa se torna de conhecimento geral, torna-se possível fazer deduções sobre o raciocínio de outras pessoas.

Trecho do livro Mania de Matemática - Diversão e jogos de lógica e matemática

ORIGAMI PARA CÁLCULO DE VOLUME

Antes de calcular o volume de pirâmides, sugiro que calculem o volume de uma caixinha aberta que os próprios alunos fazem. É rápido e fácil. Quando fiz isso em sala a grande decepção foi que ninguém sabia fazer um barquinho, que é o caminho para uma caixinha. Mas tem também sem passar pelo barquinho e é o que vou deixar no final da postagem.

Para o cálculo da pirâmide é bom ter uma em mãos também e é bem simples de fazer. São duas folhas A4 sem cortes. Mas antes de dizer que o volume de uma pirâmide é um terço da área da base vezes a altura é bom mostrar porque divide por três, a curiosidade maior é sempre essa. Sabemos que, se temos uma pirâmide de base quadrada (a²) e uma altura h e um prisma, também de base quadrada (a²) e altura h o volume desse prisma é três vezes maior que o volume da pirâmide. Para mostrar isso, primeiro fiz uma pirâmide e depois um prisma com a mesma base e altura. A base da pirâmide na foto ficou um pouquinho menor, mas a diferença é mínima.

Essa relação vale para qualquer prisma e pirâmide de mesma base e altura. E uma pirâmide especial é a de base triangular, o tetraedro. O volume do tetraedro é o resultado da aresta elevado ao cubo vezes a raiz quadrada de 2 dividido por 12. Para chegar nesses números sem um tetraedro em mãos, não é impossível mas quando chegamos no meio só tem dois alunos que dizem que estão entendendo. O tetraedro também é fácil de fazer com uma só folha. Escolhi o tetraedro por ser formado por 4 triângulos equiláteros e suas propriedades são bastantes interessantes. No triângulo equilátero, a bissetriz, a mediana, a mediatriz e a altura são coincidentes. Com isso, o ortocentro, o incentro, o baricentro e o circuncentro também são coincidentes. Além de tudo isso, o segmento de um vértice até o ponto médio de uma aresta oposta é dividido exatamente a 1/3 e 2/3 do segmento.

Para encontrar o volume do tetraedro, primeiro dividimos em 4 triângulos e usamos 1 para encontrar o valor da altura, chamado também de apótema. Encontrando a altura podemos calcular a área desse triângulo. Depois encontramos a altura do tetraedro a partir de um triângulo retângulo formado pela altura H que procuramos (um cateto), pela aresta do tetraedro (hipotenusa) e por 2/3 da apótema. (outro cateto). A mesma altura também pode ser encontrada outro triângulo retângulo usando a altura H, (um cateto), 1/3 da apótema (outro cateto) e a apótema (hipotenusa). A área total será a área de uma face vezes 4. E o volume, a área da base vezes a altura dividido por 3.

Propriedade usada: a raiz quadrada de um número ao quadrado é o próprio número.

Nas subtrações de frações:

Altura do tetraedro usando 1/3 e 2/3 da altura de uma das faces.

Volume do tetraedro.

Área da base (área de um triângulo) vezes altura (H) dividido por 3.

Caixinha aberta, uma folha quadrada.

Duas folhas retangulares para a pirâmide.





Tetraedro, uma folha quadrada

DEZ COISAS QUE VOCÊ NÃO DEVE FAZER EM SUA TESE OU DISSERTAÇÃO

Escrever um trabalho acadêmico de conclusão de curso é ao mesmo tempo uma tarefa incrível e árdua. Antes dos confetes e da bandeirada na linha de chegada haverá momentos de euforia, reflexão, desânimo e desespero, não necessariamente nesta ordem. Por isso, fizemos uma lista com algumas dicas para quem está percorrendo este caminho:

1. NÃO PROCRASTINE

Parece mágica: é só sentar em frente ao computador para escrever nosso trabalho que qualquer coisa na internet ou na televisão se torna mais atraente e interessante. De vídeos de humor no YouTube a chamadas sobre a Nana Gouveia no site da Globo. E é aí que mora o perigo: o tempo passa, o prazo final se aproxima, e aquilo que poderia ter sido escrito com calma e muito cuidado, acaba por ser escrito às pressas. A dica aqui é uma só: disciplina. Organize seu tempo, estabeleça metas diárias, semanais e mensais, e se policie. Está com bloqueio criativo? Fica encarando o cursor piscando na tela em branco? Pare de pensar que seu trabalho necessita ser escrito de forma linear, ou seja, do começo ao fim. Comece escrevendo qualquer parágrafo, trecho ou parte que lhe vier à cabeça naquele momento. Você irá perceber que após começar, uma ideia vai puxando outra, e o texto irá fluir naturalmente.

2. NÃO SEJA PERDIDO

Uma frase repetida à exaustão em palestras motivacionais para empresários é “para quem não sabe aonde quer chegar, qualquer lugar servirá“. Pois esta ideia se aplica à elaboração do seu trabalho acadêmico também. Depois de todo o trabalho de coleta e análise dos dados, e com suas hipóteses e seus objetivos em mente, escreva suas conclusões. As conclusões não devem ser a última parte a ser escrita. Devem ser a primeira. Assim, é possível planejar todo o texto para que ele conduza e prepare o leitor para as conclusões. A definição das conclusões do trabalho também poderá auxiliá-lo na redação de todo o texto, principalmente, na discussão dos resultados.

3. NÃO ECONOMIZE NA LEITURA DE ARTIGOS

Em primeiro lugar, ler mais irá lhe auxiliar a escrever melhor. Você deve ouvir isso desde o ensino fundamental. Acredite, é verdade. Além disso, ler vários artigos relacionados ao seu tema irá lhe proporcionar maior segurança na discussão de seus resultados e outras formas de observar seu problema de pesquisa. Dominar o assunto sobre você está escrevendo e fundamental, por isso, não tenha preguiça de ler muitos artigos.

4. NÃO SUBESTIME A ABNT

Não existe nada mais chato que formatar um texto segundo as normas da ABNT. Evite deixar para fazer isso apenas após o término do trabalho, quando provavelmente estará cansado e sem muita paciência. Aprenda as normas previamente e já escreva seu texto segundo elas, principalmente se você não utiliza um gerenciador de citações bibliográficas, como o EndNote, o Mendely ou o Zotero. Descobrir os autores das citações que você não colocou a referência enquanto escrevia pode levar um bom tempo, o que torna a tarefa antiprodutiva.

5. NÃO ESPECULE

Evite generalidades, mas abuse dos dados. Generalidades são boas para conversa de mesa de bar. Cada afirmação do seu texto deve ser capaz de ser respaldada por dados, informações e interpretações encontradas em artigos e textos de outros autores ou na sua própria pesquisa. Não importa o que – ou quem – você usa para embasar suas afirmações, nem que você referencie explicitamente cada afirmação, mas todas as afirmações precisam ser suportadas de alguma forma.

6. NÃO COLOQUE EM SEU TEXTO ALGO QUE NÃO SAIBA EXPLICAR

Se você que estudou aquele tema durante meses, “viveu” seu trabalho, e escreveu o texto, não compreende completamente o que algo significa, imagine quem está lendo seu trabalho. Existe, portanto, uma enorme possibilidade da banca perguntar sobre isso. Se for algo imprescindível ao trabalho, trate de estudar e dominar aquele assunto. Caso contrário, não se complique à toa.

7. NÃO FAÇA UMA “COLCHA DE RETALHOS”

Escrever um trabalho acadêmico é mais do que apenas fornecer informações ou opiniões de outros autores. Faça uma discussão sobre estas informações, relacione-as com os seus resultados, com os resultados de outros autores. Demonstre que você domina o assunto e que consegue tornar o texto mais agradável, desenvolvendo um estilo próprio.

8. NÃO FIQUE COM APENAS DUAS OPINIÕES

Terminou de escrever seu trabalho? Depois de duas ou três leituras você e seu orientador provavelmente não conseguirão encontrar mais nenhum erro. Parece que nós nos “acostumamos” com eles. Por isso, peça para seus colegas de curso, seu vizinho, seu namorado, sua tia lerem seu trabalho também. Cada pessoa que ler seu trabalho terá uma visão diferente sobre ele, baseada em sua história de vida e em seus conhecimentos. Tenho certeza que você irá se surpreender com o resultado desta dica.

9. NÃO CONFIE EM SEU COMPUTADOR

Tenha cópias do seu trabalho impressas, em seu email, em HD externo e nas “nuvens” (Google Drive, Dropbox, etc). A lei de Murphy é implacável com a pós-graduação, portanto é melhor não arriscar. Também não confie em sua impressora na véspera da entrega do trabalho. Se possível, termine e imprima seu trabalho com um dia de antecedência para evitar surpresas desagradáveis.

10. NÃO BRIGUE COM SEU ORIENTADOR

Seu orientador não responde seus e-mails, não atende suas chamadas, não lê seu texto e te bloqueou no Facebook. É complicado, eu sei. Mas conte até dez e evite discutir desnecessariamente com seu orientador, afinal, você depende dele. Na hora da defesa, ele pode comprar sua briga ou te jogar para os leões. Pense nisso.

FONTE INTERNET

TEOREMA DAS BISSETRIZES

Visualização - paralelogramo com um ângulo reto
Movimente o ponto D ou E

Dadas duas retas paralelas r e s e uma outra reta t transversal a estas duas, as bissetrizes dos ângulos colaterais internos formam um ângulo reto.

POTÊNCIA DE BASE 2 COM FOLHA DE PAPEL A4 A3 A2 A1 A0 A-1 TANTO FAZ

A base é 2, o número de dobras é o expoente e as partes marcadas com a folha aberta, depois de cada dobra é o resultado. Os mais organizados conseguem um máximo de 6 dobras talvez 7. Em todas as vezes que fiz, todos sabiam o próximo resultado, uma vez que, a cada dobra o resultado também dobra. 

Nenhuma dobra, 2 elevado a zero

Uma dobra, 2 elevado a 1

Duas dobras, 2 elevado a 2

Três dobras, 2 elevado a 3

Quatro dobras, 2 elevado a 4

VEJO PARÁBOLAS, COM QUE FREQUÊNCIA? O TEMPO TODO