DICAS PARA TRIGONOMETRIA: DEMONSTRE

Os assuntos abaixo relacionam em primeiro plano a visualização do círculo trigonométrico, os demais visam a demonstrar de onde sai algumas coisas como, os ângulos notáveis, fórmula para distâncias inacessíveis, leis dos senos e lei dos cossenos. O aluno que compreende uma demonstração tem mais facilidade em resolver os problemas corriqueiros relacionado a trigonometria. Nas demonstrações aqui relacionadas surge álgebra naturalmente, somando dos dois lados, diminuindo, dividindo e multiplicando os dois lados da equação dependendo de onde se quer chegar. Soma de fração, subtração de fração, produto notáveis, divisão de fração, teorema de Pitágoras, racionalização, definição, construções geométricas, ângulos complementares enfim, muito surge quando demonstramos alguma coisa.
Começando na visualização do círculo trigonométrico de raio unitário e relacionando ao teorema de Pitágoras já obtemos a Relação Fundamental da Trigonometria. O cateto oposto ao ângulo é o seno e o cateto adjacente, o cosseno, usando o teorema de Pitágoras temos: sen²x + cos²x  = 1 que pode ser demonstrada num triângulo retângulo qualquer:

O applet completo para visualização e para download

ÂNGULOS NOTÁVEIS


Quando falo dos ângulos notáveis, uma coisa é certa, a  musiquinha ridícula que ronda os ângulos notáveis  não canto. Uma certa vez uma professora me disse que este era seu método e que os alunos adoravam, os alunos sempre adora alguma coisa, o professor que leva jogos, o professor que brinca, o professor que não faz nada, o professor que enche a lousa, o professor que explica bem, que explica várias vezes, o que falta muito, o que vai todos os dias, eles sempre estão adorando alguém ou alguma coisa e este método que a professora dizia ser seu, faz parte das tendências pedagógicas mais precisamente a tendência liberal tradicional, uma das primeiras a surgir no Brasil, teve o seu valor na época mas que agora não é recomendada por nenhum estudioso da área. E a pior parte foi ver alunos do nono ano cantando essa musiquinha na formatura, aí foi a treva. Para quem acredita no poder da musiquinha, faça um teste, pergunte para o aluno que ângulo representa 1 sobre raiz de 2 se ele responder correto pode gravar um CD.

Dependendo da turma e do tempo começo com a construção de um triângulo equilátero, necessário para as relações de 30° e 60° e depois com um quadrado para o ângulo de 45°.

Para o ângulo de 45°, um quadrado de lado 1.

Criada a tabela é bom observar que, os números que se repete são os ângulos complementares onde a soma resulta em 90°. O seno de 30° será igual ao co seno de 60°,(60°+30°), bem como seno de 60° e co seno de 30° e seno de 45° e co seno de 45°. O seno de um ângulo será igual ao cosseno de seu complemento. E para quem gosta de denominador sem raiz, fique a vontade.

Pra mim a próxima etapa é esclarecer que estes ângulos são bonitinhos e tudo mas de prática inexistente. O avião que decola sob um ângulo de 30°, a altura da árvore vista sob um ângulo de 45°, a largura do rio sob um ângulo de 60°, fantasia pura. Se sairmos para medir a altura, largura, distância de seja la o que for não vamos encontrar estes ângulos. E como fazer com um ângulo de 31,5°? Calculadora. Depois disso podemos medir a altura de qualquer coisa se temos um ângulo e uma distância conhecida. E quando não temos esta distância uma outra demonstração é quando realmente entramos em medidas inacessíveis.

Antes de prosseguir veja o abuso que encontramos com os ângulos notáveis, dá pra ver claramente que é um ônibus espacial, imagina a plataforma de lançamento, que engenhoca. Mas já vi piores também, um helicóptero levantando voo sob um ângulo de 60° aí é só imaginarmos o helicóptero a toda velocidade e com a cauda se arrastando.

Medidas inacessíveis: Como calcular a altura de uma montanha sem ir até ela? 

Lei dos cossenos, surge relacionando dois triângulos retângulos formados a partir de um triângulo obtusângulo. Usando Pitágoras e o cosseno de um ângulo.

Demonstração lei dos senos, digamos que simplificada a partir de um triângulo.

Demonstração lei dos senos a partir do triângulo ABC inscrito em uma circunferência. Aqui se faz necessário demonstrar também que um triângulo inscrito em uma circunferência é retângulo, quando um de seus lados é o diâmetro da circunferência. E que dois ângulos que subentende um mesmo arco são congruentes.

Um exercício interessante: distância entre dois pontos totalmente inacessíveis.