quinta-feira, 27 de novembro de 2014

PADRÕES E CURIOSIDADES NO CÁLCULO DE VOLUMES DE DOIS CILINDROS



Na edição 40 da revista Cálculo, a matéria de capa, DIVISÃO DE CLASSES, traz uma lista com 13 problemas muito interessantes para trabalhar em sala de aula. O problema 4 sugere uma questão relacionado com o volume de dois cilindros feito com a mesma matéria prima, duas folhas de papel A4, um cilindro com 210 mm de altura e o outro com 297 mm de altura. Vale a pena conferir a edição 40 da revista e ver a lista de exercício. Encontrei na internet um arquivo contendo os problemas citados na revista, disponível em:
O enunciado: Pegue duas folhas de papel A4 e com cada uma delas monte um cilindro; monte um dos cilindros juntando os lados mais compridos de uma das folhas e o outro juntando os lados mais curtos. Cabe a mesma quantidade de arroz nos dois cilindros?

Decidi analisar o problema de outra forma buscando relacionar mais assuntos do ensino médio. Na resolução da revista o aluno imagina como seria se aumentasse a altura e mantivesse o raio e ao contrário também, fiz essa mesma análise só que partindo de dois cilindros iguais de altura 1 e raio 1, obtendo a tabela a seguir:



O volume aumenta muito mais rápido quando o raio cresce e comparando linha por linha, na primeira os volumes são iguais, na segunda aumentou duas vezes, na terceira, três vezes e assim por diante. Ficando evidente qual cilindro caberá mais, o de maior raio.
Para verificar se existe uma relação, raio versus altura, decidi partir de dois cilindros de raio e altura igual a 1 e aumentar uma unidade no raio e uma unidade na altura e igualar os volumes.







Atribuindo valores para h encontramos os valores do raio resolvendo equações do segundo grau. O coeficiente a mantém em -1, o b aumenta de duas em duas unidades e o coeficiente c aumenta de uma em uma unidade. O valor de h sempre será o ponto médio entre as raízes e a distância de uma raiz e a próxima aproxima sempre de duas unidades, o que levou a desconfiar na existência de um limite na distância entre uma raiz e a próxima e um limite na razão do raio com a altura e os dois limites tendendo a 2.
Curiosidades nas raízes: as expansões decimais das raízes são as mesmas para qualquer valor de h e a primeira equação para h igual a 1, tem a mesma expansão decimal da raiz de 2. O número 2 está intimamente ligado a esta relação.


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E para um h qualquer  -r² + 2rh + h = 0

Padrão dos gráficos



Expansão decimal da raiz de 2




Distância entre uma raiz e a próxima









Do lado positivo, a distância entre uma raiz e a próxima tende a 2. Do lado negativo, a raiz seguinte tende a -1/2.






Noção de limite

A hipótese é que dividindo o raio pela altura obtemos 2, isso quando a altura for muito grande. Usando a fórmula de resolução de equação do segundo grau obtemos o valor do raio daí é só dividir pela altura. Recomendo que revise as propriedades de limite.





Resolvendo o limite





Plotando a função obtém se uma hipérbole com assíntota vertical no y e horizontal no 2.






Mova o seletor h (altura)


A tendência é termos sempre um raio com o dobro da altura h mais 0.5, por exemplo para h= 400 teremos raio 800.5, um decimal pouco significativo para h muito grande.


Outra curiosidade é em relação ao volume, quando utilizamos duas folhas de A4 como está na revista, a diferença entre a capacidade de um e de outro fica em torno de 42%. Nesta relação, assim que a altura do cilindro aumenta o raio aumenta duas vezes aproximadamente e a diferença na capacidade de um para o outro diminui consideravelmente chegando a ficar imperceptível quando h  fica muito grande. Por exemplo: quando h=1 o volume é de 18.3 aproximadamente e quando h=2 o volume chega a 124.3 aproximadamente, uma diferença de 579,2%. Para h=40 o volume é de, 813 856 e para h=41 o volume é de 876 172, uma diferença de 7.65%. É claro que 1% de um milhão e 1% 10 tem suas diferenças.

Conferindo no geogebra
digitando essa função no campo de entrada e depois digitando  Limite[ <Função>, <Número> ], Limite[ f, inf ] e enter.


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