EXERCÍCIO TRIGONOMETRIA - SEGUNDO F

Pessoal, a figura do exercício como prometido e o que precisam saber para resolver.

DEMONSTRAÇÃO TRIÂNGULO RETÂNGULO INSCRITO EM UMA SEMICIRCUNFERÊNCIA

DEMONSTRAÇÃO LEI DOS COSSENOS

LEI DE BENFORD E A SEQUÊNCIA DE FIBONACCI

Para os primeiros 100 números da sequência o resultado é fantástico.

LEI DE BENFORD PARA O PRIMEIRO ANO

Resumindo ao máximo a Lei de Benford seria como perguntar, qual a probabilidade de sair o número 1 de uma caixa que contém os algarismo de 1 a 9? Claro que nossa resposta intuitiva será de 1 em 9 e a mesma coisa para os outros números. De sair o número 8 será de 1 em 9 e assim sucessivamente. A Lei de Benford diz que não é esta a probabilidade, a lei diz que para um temos 30.1%, para dois 17.6%, para três 12.5%, para quatro  9.7%, para cinco  7.9%, para seis 6,7%, para sete 5.8%, para oito 5.1% e para nove 4.6%. Existem muitos textos sobre a Lei de Benford e várias opiniões também na internet. Meu objetivo não é de dissecar a lei, mas de falar como passei este objeto matemático para alunos do primeiro ano. Meu primeiro objetivo com eles foi de revisar assuntos anteriores como contagem, porcentagem e construção de gráficos. Em seguida comparar os gráficos, ver as semelhanças e não semelhanças entre os gráficos construídos. 

Primeiro eu peguei informações no site do IBGE CIDADES sobre os dados de todos os municípios de vários estados. Nesse PDF tem a população, área da unidade territorial, densidade demográfica, PIB, gentílico e código de cada município. Pedi que avaliassem só coluna referente à população. Formaram-se seis grupos por sala o que não é o ideal mais grupos seria melhor, mas só tinha dados de seis estados. São Paulo por exemplo foi dividido em dois devido a quantidade de municípios. Pelo menos os meus primeiros ano ainda não tem aquela organização desejada, mas não foi nenhum desastre pedagógico, o mais difícil foi a contagem, foi difícil bater os números de algarismos com o total de municípios mas conseguiram e daí pra frente foi tranquilo com a porcentagem e os gráficos.

O bom da atividade foi rever conteúdos anteriores, mostrar algo diferente dos livros didáticos e mostrar aplicabilidade da lei, onde funciona e onde não funciona além de ser o tipo de atividade que já de antemão sabemos o que está por vir.

Para as série seguintes pode trabalhar contagem, porcentagem, gráficos, logaritmos e probabilidades tudo junto.

Para saber mais sobre a Lei de Benford um vídeo do canal isto é matemática de Portugal e alguns PDF.

LEI DE BENFORD IME - LEI DE BENFORD W - LEI DE BENFORD UnB - LEI DE BENFORD SEED

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS COM UMA FOLHA DE PAPEL QUADRADA

Um jeito bacana e simples de provar um dos casos de semelhança de triângulos, semelhança e não congruência. É bom deixar claro que são coisas diferentes. Um dos enunciados do teorema de Haga diz que, em uma folha de papel quadrada, consideremos um ponto P qualquer na parte superior da folha. Dobrando-se um vértice inferior de modo que coincida com o ponto P, forma-se três triângulos semelhantes.

Os triângulos A, B e C são semelhantes

E de forma empírica é só recortar os três triângulos e comparar ângulo a ângulo.

PROGRAMA TRACKER - PARA ANÁLISE DE VÍDEO E MODELAGEM

Professores ligado nos programas que nos auxiliam em nossas aulas de matemática e física, o TRACKER não muito conhecido, mas está disponível gratuitamente para download nos sistemas Windows, Mac OS X e Linux. Já existem alguns vídeos com tutorial no you tube e em PDF também. Na primeira foto, o site do programa e na segunda, um tutorial do Laboratório Didático de Física da UFRGS.
Gravei um vídeo curtinho só para não mostrar  o programa sem vídeo, eu só sinalizei uma bolinha de gude descendo em uma curva ciclóide que alguns dos meus alunos do ano passado fizeram. Do lado surge um gráfico e na parte inferior uma tabela com tempo e as variáveis x e y. Além desse gráfico tem mais 24 tipos de gráficos com ângulo de rotação, ângulo da aceleração, ângulo da posição, ângulo da velocidade, velocidade angular, aceleração angular e diversos gráficos além das várias funções na barra de ferramentas.  Foram minhas primeiras horas nesse programa e  gostei muito falta inserir dados e buscar informações.

Programa Tracker, análise de vídeo e ferramenta de modelagem.

    Link do tutorial 

TENTAR, TENTAR E TENTAR NOVAMENTE

Fazer qualquer coisa em matemática hoje é sempre um desafio pois tudo que é feito não parece ser o suficiente. Surge os truques, as paródias, os métodos mais fáceis, os atalhos, as brincadeiras, os tradicionais, os tecnólogos enfim, nada parece dar jeito no ensino de matemática, o medo desta disciplina virou patrimônio cultural do Brasil. Os índices não mudam 'ninguém' dá jeito. Enfim, não é por isso que desistirei de tentar, dias melhores virão.

VÍDEO PORTA CANETAS - DOBRADURAS

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DOBRADURAS - PORTA CANETAS

Participe do grupo no face book

ÁREA DO HEXÁGONO COM AUXÍLIO DE DOBRADURAS

Qual a melhor forma de calcular a área de um hexágono regular? As vezes que propus aos alunos essa atividade, a primeira barreira é o próprio hexágono, o desenho irregular irá dificultar o entendimento das etapas seguintes para cálculo da área total do hexágono. Construir um com régua e compasso toma muito tempo, nem sempre temos materiais para todos e a aula que deveria ser sobre área torna-se desenho geométrico. Construir um hexágono usando uma folha de A4 é muito rápido e assim que o primeiro aluno consegue, ele já começa a ajudar seu colega, em poucos minutos todos tem em mãos um hexágono regular bem feito e o foco da atividade é retomado. Para a construção cada aluno precisa de uma folha de papel A4, régua e caneta. A folha retangular deve tornar-se quadrada, levar as folhas já na forma quadrada irá economizar muito tempo.

Gentilmente uma folha de papel A4 gera um hexágono regular com os lados medindo 6 centímetros. Depois de alguns minutos analisando a figura que tem em mãos os alunos percebem que os seis triângulos são equiláteros e utilizando seus conhecimentos prévios irão calcular a área de um triângulo e multiplicar por seis ou somar as áreas dos seis. Irão precisar saber sobre ponto médio, teorema de Pitágoras e o processo para cálculo da área de qualquer triângulo, que é base vezes altura dividido por 2. Depois de alguns minutos muitos irão chegar com 93,5 cm². Nessa etapa é o momento de usar novos conhecimentos para obter o mesmo resultado e de forma bem mais prática e rápida que é o teorema das áreas, (demonstrado no final desta postagem). Os triângulos são equiláteros com medidas 6 e ângulos de 60°, então de forma bem mais prática fica 6 vezes 6 vezes seno de 60º e tudo dividido por 2.

TEOREMA DAS ÁREAS

A área de qualquer triângulo será sempre a metade do produto de dois lados pelo seno formado por eles. 

Dado um triângulo qualquer determine a altura h, escolha um ângulo para determinar o seno, isole h e substitua na fórmula base vezes altura.

DEMONSTRAÇÃO

Exemplo:

ORIGENS DAS PALAVRAS

Entre neste site e veja o significado de várias palavras como, cateto, hipotenusa, escaleno entre outras  e saiba muito mais sobre ETIMOLOGIA.

ORIGEMDAPALAVRA.COM.BR

OFICINA DE DOBRADURAS - OBMEP

De Mário Jorge Dias Carneiro e  Michel Spira. PDF

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