Na
edição 40 da revista Cálculo, a matéria de capa, DIVISÃO DE CLASSES, traz uma
lista com 13 problemas muito interessantes para trabalhar em sala de aula. O
problema 4 sugere uma questão relacionado com o volume de dois cilindros feito
com a mesma matéria prima, duas folhas de papel A4, um cilindro com 210 mm de
altura e o outro com 297 mm de altura. Vale a pena conferir a edição 40 da
revista e ver a lista de exercício. Encontrei na internet um arquivo contendo
os problemas citados na revista, disponível em:
O
enunciado: Pegue duas folhas de papel A4 e com cada uma delas monte um
cilindro; monte um dos cilindros juntando os lados mais compridos de uma das
folhas e o outro juntando os lados mais curtos. Cabe a mesma quantidade de
arroz nos dois cilindros?
Decidi
analisar o problema de outra forma buscando relacionar mais assuntos do ensino
médio. Na resolução da revista o aluno imagina como seria se aumentasse a
altura e mantivesse o raio e ao contrário também, fiz essa mesma análise só que
partindo de dois cilindros iguais de altura 1 e raio 1, obtendo a tabela a
seguir:
O
volume aumenta muito mais rápido quando o raio cresce e comparando linha por
linha, na primeira os volumes são iguais, na segunda aumentou duas vezes, na
terceira, três vezes e assim por diante. Ficando evidente qual cilindro caberá
mais, o de maior raio.
Para
verificar se existe uma relação, raio versus altura, decidi partir de dois
cilindros de raio e altura igual a 1 e aumentar uma unidade no raio e uma
unidade na altura e igualar os volumes.
Atribuindo valores para h encontramos os valores
do raio resolvendo equações do segundo grau. O coeficiente a mantém em -1, o b
aumenta de duas em duas unidades e o coeficiente c aumenta de uma em uma
unidade. O valor de h sempre será o ponto médio entre as raízes e a distância
de uma raiz e a próxima aproxima sempre de duas unidades, o
que levou a desconfiar na existência de um limite na distância entre uma raiz e
a próxima e um limite na razão do raio com a altura e os dois limites tendendo
a 2.
Curiosidades nas raízes: as expansões decimais das raízes
são as mesmas para qualquer valor de h e a primeira equação para h igual a 1, tem
a mesma expansão decimal da raiz de 2. O número 2 está intimamente ligado a esta relação.
.
E para um h qualquer -r² + 2rh + h = 0
Padrão dos gráficos
Expansão decimal da raiz de 2
Distância entre uma raiz e a próxima
Do lado positivo, a distância entre uma raiz e a próxima tende a 2. Do lado negativo, a raiz seguinte tende a -1/2.
Noção de limite
A hipótese é que dividindo o raio pela altura obtemos 2, isso quando a altura for muito grande. Usando a fórmula de resolução de equação do segundo grau obtemos o valor do raio daí é só dividir pela altura. Recomendo que revise as propriedades de limite.
Resolvendo o limite
Plotando a função obtém se uma hipérbole com assíntota vertical no y e horizontal no 2.
Mova o seletor h (altura)
A tendência é termos sempre um raio com o dobro da altura h mais 0.5, por exemplo para h= 400 teremos raio 800.5, um decimal pouco significativo para h muito grande.
Outra curiosidade é em relação ao volume, quando utilizamos duas folhas de A4 como está na revista, a diferença entre a capacidade de um e de outro fica em torno de 42%. Nesta relação, assim que a altura do cilindro aumenta o raio aumenta duas vezes aproximadamente e a diferença na capacidade de um para o outro diminui consideravelmente chegando a ficar imperceptível quando h fica muito grande. Por exemplo: quando h=1 o volume é de 18.3 aproximadamente e quando h=2 o volume chega a 124.3 aproximadamente, uma diferença de 579,2%. Para h=40 o volume é de, 813 856 e para h=41 o volume é de 876 172, uma diferença de 7.65%. É claro que 1% de um milhão e 1% 10 tem suas diferenças.
Conferindo no geogebra
digitando essa função no campo de entrada e depois digitando Limite[ <Função>, <Número> ], Limite[ f, inf ] e enter.
