Antes de calcular o volume de pirâmides, sugiro que calculem o volume de uma caixinha aberta que os próprios alunos fazem. É rápido e fácil. Quando fiz isso em sala a grande decepção foi que ninguém sabia fazer um barquinho, que é o caminho para uma caixinha. Mas tem também sem passar pelo barquinho e é o que vou deixar no final da postagem.
Para o cálculo da pirâmide é bom ter uma em mãos também e é bem simples de fazer. São duas folhas A4 sem cortes. Mas antes de dizer que o volume de uma pirâmide é um terço da área da base vezes a altura é bom mostrar porque divide por três, a curiosidade maior é sempre essa. Sabemos que, se temos uma pirâmide de base quadrada (a²) e uma altura h e um prisma, também de base quadrada (a²) e altura h o volume desse prisma é três vezes maior que o volume da pirâmide. Para mostrar isso, primeiro fiz uma pirâmide e depois um prisma com a mesma base e altura. A base da pirâmide na foto ficou um pouquinho menor, mas a diferença é mínima.
Essa relação vale para qualquer prisma e pirâmide de mesma base e altura. E uma pirâmide especial é a de base triangular, o tetraedro. O volume do tetraedro é o resultado da aresta elevado ao cubo vezes a raiz quadrada de 2 dividido por 12. Para chegar nesses números sem um tetraedro em mãos, não é impossível mas quando chegamos no meio só tem dois alunos que dizem que estão entendendo. O tetraedro também é fácil de fazer com uma só folha. Escolhi o tetraedro por ser formado por 4 triângulos equiláteros e suas propriedades são bastantes interessantes. No triângulo equilátero, a bissetriz, a mediana, a mediatriz e a altura são coincidentes. Com isso, o ortocentro, o incentro, o baricentro e o circuncentro também são coincidentes. Além de tudo isso, o segmento de um vértice até o ponto médio de uma aresta oposta é dividido exatamente a 1/3 e 2/3 do segmento.
Para encontrar o volume do tetraedro, primeiro dividimos em 4 triângulos e usamos 1 para encontrar o valor da altura, chamado também de apótema. Encontrando a altura podemos calcular a área desse triângulo. Depois encontramos a altura do tetraedro a partir de um triângulo retângulo formado pela altura H que procuramos (um cateto), pela aresta do tetraedro (hipotenusa) e por 2/3 da apótema. (outro cateto). A mesma altura também pode ser encontrada outro triângulo retângulo usando a altura H, (um cateto), 1/3 da apótema (outro cateto) e a apótema (hipotenusa). A área total será a área de uma face vezes 4. E o volume, a área da base vezes a altura dividido por 3.
Propriedade usada: a raiz quadrada de um número ao quadrado é o próprio número.
Nas subtrações de frações:
Altura do tetraedro usando 1/3 e 2/3 da altura de uma das faces.
Volume do tetraedro.
Área da base (área de um triângulo) vezes altura (H) dividido por 3.
Caixinha aberta, uma folha quadrada.
Duas folhas retangulares para a pirâmide.
Tetraedro, uma folha quadrada
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